Analytická geometrie 7 - Vektory - základy (Smieť 2024)
Vektor v matematike množstvo, ktoré má veľkosť aj smer, ale nie pozíciu. Príkladmi takýchto veličín sú rýchlosť a zrýchlenie. Vo svojej modernej podobe sa vektory objavili koncom 19. storočia, keď Josiah Willard Gibbs a Oliver Heaviside (USA, resp. Británia) nezávisle vyvinuli vektorovú analýzu na vyjadrenie nových zákonov elektromagnetizmu objavených škótskym fyzikom Jamesom Clerkom Maxwellom. Od tej doby sa vektory stali základom matematiky vo fyzike, mechanike, elektrotechnike a ďalších vedách.
lineárna algebra: vektory a vektorové priestory
Lineárna algebra sa zvyčajne začína štúdiom vektorov, ktoré sú chápané ako veličiny, ktoré majú veľkosť aj smer. Vector s
Vektory môžu byť vizualizované ako riadené úsečky, ktorých dĺžka je ich veľkosť. Pretože iba veľkosť a smer vektorovej hmoty môže byť ktorýkoľvek smerovaný segment nahradený jedným z rovnakej dĺžky a smeru, ktorý však začína v inom bode, ako je napríklad začiatok súradnicového systému. Vektory sú zvyčajne označené tučným písmom, ako napríklad v. Veľkosť alebo dĺžka vektora je označená | v | alebo v, čo predstavuje jednorozmerné množstvo (ako napríklad bežné číslo) známe ako skalár. Násobenie vektora skalárom zmení dĺžku vektora, ale nie jeho smer, s výnimkou toho, že vynásobenie záporným číslom obráti smer vektorovej šípky. Napríklad vynásobenie vektora 1/2 bude mať za následok polovicu vektora tak dlhú v rovnakom smere, zatiaľ čo vynásobenie vektora koeficientom -2 bude mať za následok vektor dvakrát tak dlhý, ale bude ukazovať opačným smerom.
Môžu sa pridať alebo odpočítať dva vektory. Napríklad, ak chcete graficky pridať alebo odčítať vektory v a w (pozri schému), posuňte každý na začiatok a dokončite rovnobežník tvorený dvoma vektormi; v + w je potom jeden diagonálny vektor rovnobežníka a v - w je druhý diagonálny vektor.
Existujú dva rôzne spôsoby znásobovania dvoch vektorov dohromady. Výsledkom kríža alebo vektora je ďalší vektor, ktorý je označený vxw. Veľkosť krížového produktu je daná | v × w | = vw sin θ, kde θ je menší uhol medzi vektormi (ich „chvosty“ sú umiestnené spolu). Smer v × w je kolmý na obidva v a w a jeho smer sa dá vizualizovať pravítkom, ako je to znázornené na obrázku. Krížový produkt sa často používa na získanie „normálu“ (priamka kolmá) na povrch v určitom bode a vyskytuje sa pri výpočte krútiaceho momentu a magnetickej sily na pohybujúcej sa nabitej častici.
Ďalším spôsobom, ako množiť dva vektory spolu, sa nazýva bodový produkt alebo niekedy skalárny produkt, pretože vedie k skaláru. Produkt bodka je daný vzťahom v ∙ w = vw cos θ, kde θ je menší uhol medzi vektormi. Bodový produkt sa používa na nájdenie uhla medzi dvoma vektormi. (Všimnite si, že bodový súčin je nula, keď sú vektory kolmé.) Typickou fyzikálnou aplikáciou je nájsť prácu W vykonávanú konštantnou silou F pôsobiacou na pohybujúci sa objekt d; práca je daná W = Fd cos θ.
