Laplaceova rovnica

Laplaceova rovnica, parciálna diferenciálna rovnica druhého rádu široko užitočná vo fyzike, pretože jej riešenia R (známe ako harmonické funkcie) sa vyskytujú v problémoch s elektrickým, magnetickým a gravitačným potenciálom, teplotami v ustálenom stave a hydrodynamikou. Rovnicu objavil francúzsky matematik a astronóm Pierre-Simon Laplace (1749–1827).

princípy fyzikálnej vedy: Divergencia a Laplaceova rovnica

Ak náboje nie sú izolované body, ale tvoria nepretržité rozdelenie s miestnou hustotou náboja ρ, ktorá je pomerom náboja δ

Laplaceova rovnica uvádza, že súčet čiastkových derivátov R druhého rádu R, neznámej funkcie, sa vzhľadom na karteziánske súradnice rovná nule:

Súčet vľavo často je reprezentovaná výrazom ∇ ² R, v ktorom symbol ∇ ² sa nazýva laplaceov operátor, alebo Laplace operátora.

Mnohé fyzikálne systémy sú pohodlnejšie opísané pomocou sférických alebo valcovitých súradnicových systémov. Laplaceova rovnica sa dá prepracovať v týchto súradniciach; napríklad, vo valcových súradniciach, Laplaceova rovnica je